拓扑排序

拓扑排序

拓扑排序要解决的问题是给一个有向无环图的所有节点排序。

适用条件

每个顶点出现且只出现一次。

若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图（DAG）才能有拓扑排序，非DAG没有拓扑排序。

这里的条件通俗一点讲，就是假设每个节点都是一个事件，事件与事件之间存在先后关系，比如吃饭之前需要做饭，但如果这些事件里面有个环，便不能构成先后顺序了，所以拓扑排序只适用于DAG

实现思路

  1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）
  3. 重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

假设我们有这样一个DAG

image-20231101110813756

我们得选择一个没有前驱的节点，这里有1和6，我们先选择1。这里我们输出1，并且删除跟1有关的边

image-20231101111109486

这里我们发现4也是没有前驱的节点，可以输出4，并且删除4有关的边

image-20231101111246549

然后选择6节点，输出6节点并且删除6有关的边

image-20231101111330104

然后选择节点5

image-20231101111355394

最后输出2和3

所以我们拓扑排序的结果就是：1->4->6->5->2->3

代码实现

Kahn算法

Kahn的算法的思路其实就是我们之前那个手动展示的拓扑排序的实现，我们先使用一个栈保存入度为0 的顶点，然后输出栈顶元素并且将和栈顶元素有关的边删除，减少和栈顶元素有关的顶点的入度数量并且把入度减少到0的顶点也入栈。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
bool Graph_DG::topological_sort() {
    cout << "图的拓扑序列为：" << endl;
    //栈s用于保存栈为空的顶点下标
    stack<int> s;
    int i;
    ArcNode * temp;
    //计算每个顶点的入度，保存在indgree数组中
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            ++this->indegree[temp->adjvex];
            temp = temp->next;
        }

    }

    //把入度为0的顶点入栈
    for (i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if (!indegree[i]) {
            s.push(i); 
        }
    }
    //count用于计算输出的顶点个数
    int count=0;
    while (!s.empty()) {//如果栈为空，则结束循环
        i = s.top();
        s.pop();//保存栈顶元素，并且栈顶元素出栈
        cout << this->arc[i].data<<" ";//输出拓扑序列
        temp = this->arc[i].firstarc;
        while (temp) {
            if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度减少到为0，则入栈
                s.push(temp->adjvex);
            }
            temp = temp->next;
        }
        ++count;
    }
    if (count == this->vexnum) {
        cout << endl;
        return true;
    } 
    cout << "此图有环，无拓扑序列" << endl;
    return false;//说明这个图有环
}

DFS算法

它每次都沿着一条路径一直往下搜索，知道某个顶点没有了出度时，就停止递归，往回走，所以我们就用DFS的这个思路，我们可以得到一个有向无环图的拓扑序列，其实DFS很像Kahn算法的逆过程。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() {
    stack<string> result;
    int i;
    bool * visit = new bool[this->vexnum];
    //初始化我们的visit数组
    memset(visit, 0, this->vexnum);
    cout << "基于DFS的拓扑排序为：" << endl;
    //开始执行DFS算法
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        if (!visit[i]) {
            dfs(i, visit, result);
        }
    }
    //输出拓扑序列，因为我们每次都是找到了出度为0的顶点加入栈中，
    //所以输出时其实就要逆序输出，这样就是每次都是输出入度为0的顶点
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        cout << result.top() << " ";
        result.pop();
    }
    cout << endl;
    return true;
}
void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) {

        visit[n] = true;
        ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc;
        while (temp) {
            if (!visit[temp->adjvex]) {
                dfs(temp->adjvex, visit,result);
            }
            temp = temp->next;
        }
        //由于加入顶点到集合中的时机是在dfs方法即将退出之时，
        //而dfs方法本身是个递归方法，
        //仅仅要当前顶点还存在边指向其他不论什么顶点，
        //它就会递归调用dfs方法，而不会退出。
        //因此，退出dfs方法，意味着当前顶点没有指向其他顶点的边了
        //，即当前顶点是一条路径上的最后一个顶点。
        //换句话说其实就是此时该顶点出度为0了
        result.push(this->arc[n].data);

}

总结

对于基于DFS的算法，增加结果集的条件是：顶点的出度为0。这个条件和Kahn算法中入度为0的顶点集合似乎有着异曲同工之妙，Kahn算法不须要检测图是否为DAG，假设图为DAG，那么在入度为0的栈为空之后，图中还存在没有被移除的边，这就说明了图中存在环路。而基于DFS的算法须要首先确定图为DAG，当然也可以做出适当调整，让环路的检测測和拓扑排序同一时候进行，毕竟环路检測也可以在DFS的基础上进行。

结束

2127. 参加会议的最多员工数